Rを使ってウェルチ検定（Welch test）を簡単に求めてみる

医学統計学

2022.06.212023.06.08

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独立した2群間の平均を比較する場合

t検定
Welch検定

の2つの方法があります。

CONTENTS

t検定とWelch検定の違い
t検定ではなく、Welch検定を使うべき！？（問題提起）
Rを使ったWelch検定の具体例
おまけ
まとめ

t検定とWelch検定の違い

t検定（Studentのt-検定）は，

2群が正規分布に従う母集団から抽出されたと仮定
2群の母分散は等しいことを仮定

一方、Welchのt検定は、

2群が正規分布に従う母集団から抽出されたと仮定（t検定と同じ）
2群の母分散は等しいことを仮定しない。

さらにt検定とWelch検定の計算方法にも以下の違いがある。

検定統計量
自由度

t検定（Studentのt-検定）場合、

$$検定統計量：\frac{ x_1 - x_2 }{ s_p\sqrt{1/n_1 + 1/n_2}}$$

$x_1$ と $x_2$ は標本平均
$n_1$ と $n_2$ は標本1 と標本2のサイズ
$s_p = \sqrt{ \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{(n_1+n_2-2)}}$
$s_1^2$ と$s_2^2$ は標本分散

自由度: $n_1 + n_2 - 2$

Welchのt-検定の場合

$$検定統計量: \frac{x_1 - x_2}{ \sqrt{s_1^2/n_1 + s_2^2/n_2}}$$

$x_1$ と $x_2$ は標本平均
$n_1$ と $n_2$ は標本1 と標本2のサイズ

自由度：$\frac{(s_1^2/n_1 + s_2^2/n_2)^2 }{ \frac{(s_1^2 / n_1)^2}{ (n_1 - 1) }+ \frac{(s_2^2 / n_2)^2}{(n_2 - 1) }}$

Welch検定の自由度は、2つの標準偏差の差を考慮します。もし、2つの標本標準偏差が同じであれば、Welch検定の自由度は、t検定の自由度と同じとなりますが、通常、2群の標準偏差は異なるので、Welch検定の自由度はt検定の自由度より小さくなる傾向があります。

t検定ではなく、Welch検定を使うべき！？（問題提起）

独立した2群の平均を比較するときに、

「Welch検定を第一選択するべきである」

という意見もあります。

なぜなら、2群の平均を比較する場合、各群の標準偏差が同じになることはまずありません。そのため、分散が等しいという仮定をする必要がないように、常にWelch検定を使用するのが良いという考え方です。

Rを使ったWelch検定の具体例

では、実際にサンプルデータを使って、Rで2群間のWelch検定を行ってみましょう。

サンプルデータ

group A：14,15,15,15,16,18,22,23,24,25,25

group B：10,12,14,15,18,22,24,27,31,33,34,34,34

ウェルチ検定のR関数はt.test()です。

t.test(x, y = NULL, alternative = c("two.sided", "less", "greater"), mu = 0, paired = FALSE, var.equal = FALSE, conf.level = 0.95, ...)

この時、デフォルト設定は、

alternative = "two.sided"　←両側検定
paired = FALSE　←対応なし
var.equal = FALSE　←等分散性を仮定しない
conf.level = 0.95　←有意水準0.05

となっていますので、特に引数を追加する必要はありません。

groupA <- c(14,15,15,16,16,18,22,23,24,24,25,25,26,27)
groupB <- c(10,12,14,14,18,23,24,27,31,33,34,34,34, 35,35,37,39)
t.test(groupA, groupB)

を実行すると、結果は以下の通りです。

Welch Two Sample t-test

data: groupA and groupB
t = -2.2274, df = 24.095, p-value = 0.03552
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-11.5422914 -0.4409019
sample estimates:
mean of x mean of y
20.71429 26.70588

P値は0.03552
95%信頼区間が-11.5422914 から-0.4409019

ですから、Welch検定の結果、2つの母集団の平均値(20.71429と26.70588)には有意な差があることが分かりました。

おまけ

ちなみに2群間の母分散の検定をRで実施する場合はvar.test()関数を使います。

帰無仮説は「2群間の母分散は等しい」です。

var.test(groupA, groupB)

結果は以下のようにｐ値が 0.0124ですから、帰無仮説は棄却され、

「2群間の母分散は等しいとは言えない」と結論づけられます。

F test to compare two variances
data: groupA and groupB
F = 0.23757, num df = 13, denom df = 16, p-value = 0.0124
alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
95 percent confidence interval:
0.08334295 0.71911467
sample estimates:
ratio of variances
0.2375739